20240303235947 オイラーの公式

eとは

説明が色々あって、数学的に厳密にしようとするとややこしいが、「微分すると自分自身になる指数関数の底」という定義を理解しておけばよさそう。

(e^{x})^{'} = e^{x} (1)

がわかっている必要がある。

参考文献はこのあたり。

eは微分しても変わらない。あと $e (0) = 1$ なので、テイラー展開すると(マクローリン展開だけど)、各係数は

\frac{1}{n !} (2)

となる。具体的にはこうなっている。

e^{x} = 1 + \frac{1}{1 !} x + \frac{1}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{1}{n !} x^{n} (3)

$(sin (x))^{'} = cos (x)$ 、 $(cos (x))^{'} = - sin (x)$ 。ここも高校でやったので省略。微分を繰りかえすと、 $sin (x)$ は

sin (x) \to cos (x) \to - sin (x) \to - cos (x) \to sin (x) (4)

と、4回微分すると元に戻る。同じように $cos (x)$ も

cos (x) \to - sin (x) \to - cos (x) \to sin (x) \to cos (x) (5)

と4回で元に戻る。

(4)に $x = 0$ を代入すると、

0 \to 1 \to 0 \to - 1 \to 0 (6)

sin (x) = 0 + x + 0 - \frac{1}{3 !} x^{3} + 0 + \frac{1}{5} x^{5} + \dots = x - \frac{1}{3 !} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} + \dots (7)

と、 $x$ が奇数次の係数のみが残る。 $cos$ の場合、

cos (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2 !} x^{2} + 0 + \frac{1}{4 !} x^{4} + \dots = 1 - \frac{1}{2 !} x^{2} + \frac{1}{4 !} x^{4} + \dots (8)

と、 $x$ が偶数次の係数のみが残る。

$e^{x}$ のテイラー展開が(3)で与えられているとすると、 $x$ に $i x$ を代入して、

e^{i x} = 1 + \frac{1}{1 !} (i x) + \frac{1}{2 !} (i x)^{2} + \frac{1}{3 !} (i x)^{3} + \frac{1}{4 !} (i x)^{4} + \frac{1}{5 !} (i x)^{5} \dots + \frac{1}{n !} (i x)^{n} (9)

ここで $i$ は虚数単位。 $i^{2} = - 1$ を利用して $i$ をできるだけ消すと、

e^{i x} = 1 + \frac{i}{1 !} x - \frac{1}{2 !} x^{2} - \frac{i}{3 !} x^{3} + \frac{1}{4 !} x^{4} + \frac{i}{5 !} x^{5} \dots + \frac{1}{n !} (i x)^{n} (10)

$i$ がついている項とそうでない項を整理すると、

e^{i x} = (1 - \frac{1}{2 !} x^{2} + \frac{1}{4 !} x^{4} + \dots) + i (\frac{1}{1 !} x - \frac{1}{3 !} x^{3} + \frac{1}{5 !} x^{5} + \dots) (11)

(11)と、(7)、(8)を見くらべると、

e^{i x} = cos (x) + i sin (x) (12)

となっている。これがオイラーの公式。 $e^{x}$ やテイラー展開などを複素数領域に拡張してよいのか？というのは証明が必要だけど、原岡, オイラーの公式がわかる. とか、オイラーの公式 - Wikipediaあたりを参照。やってよい。

$e^{i x}$ は、複素平面上の単位円(長さが1)で、実数部が $cos (x)$ 、虚数部が $sin (x)$ となっている。この単位円は電気とか信号処理とかで、よく登場する割と重要な概念。