20240308121258 テイラー展開

とは何

これはマクローリン展開(x=0 の場合)のような気がするが、参考文献原岡, オイラーの公式がわかる. では「テイラー展開」と書いてあった。

関数 $f (x)$ が、以下のように、べき級数で表せるとする。

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{n} x^{n} + \dots (1)

このとき、 $a_{0}, a_{1}, \dots$ を求めたい。 $a_{0}$ は、 $f (x)$ に、 $x = 0$ を代入して

a_{0} = f (0) (2)

と求めることができる。 $a_{1}$ を求めるには、 $f (x)$ を微分した、

f^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + \dots n a_{n} x^{n - 1} + \dots (3)

に、 $x = 0$ を代入して、

a_{1} = f^{'} (0) (3)

で求めることができる。同様に、 $a_{2}$ が求めたかったら、 $f^{'} (x)$ を微分して、

f^{''} (x) = 2 a_{2} + 3 \cdot 2 \cdot a_{3} x + \dots n \cdot (n - 1) \cdot a_{n} x^{n - 2} + \dots (4)

として、

a_{2} = \frac{f ^{''} ( 0 )}{2} (5)

で求めることができる。この作業を繰りかえしていくことで、順次 $a_{n}$ を求めることができる。微分するたびに、べき乗の次数が係数に乗算されていくので、その分で割る必要がある。一般化するとこうなる。

a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} (6)

(1) に(6)を代入すると、

f (x) = \frac{f ( 0 )}{0 !} + \frac{f ^{'} ( 0 )}{1 !} x + \frac{f ^{''} ( 0 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} + \dots = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n} (7)

関数が無限に微分できること( $C^{\infty}$ 級)であること、定義域が実数全体ではない場合があること、など色々あるが、今のところ自分が興味あるのが $e, sin, cos$ などで、それらでは実数全体でテイラー展開可能なので、あまり気にしないことにする。