20240303235947 オイラーの公式

techmath

eとは

説明が色々あって、数学的に厳密にしようとするとややこしいが、「微分すると自分自身になる指数関数の底」という定義を理解しておけばよさそう。

がわかっている必要がある。

参考文献はこのあたり。

eのテイラー展開

eは微分しても変わらない。あとなので、テイラー展開 すると(マクローリン展開だけど)、各係数は

となる。具体的にはこうなっている。

sin、cosのテイラー展開

。ここも高校でやったので省略。 微分を繰りかえすと、

と、4回微分すると元に戻る。同じように

と4回で元に戻る。

(4)にを代入すると、

テイラー展開すると、

と、が奇数次の係数のみが残る。の場合、

と、が偶数次の係数のみが残る。

eをsinとcosで表現:オイラーの公式

のテイラー展開が(3)で与えられているとすると、を代入して、

ここでは虚数単位。 を利用してをできるだけ消すと、

がついている項とそうでない項を整理すると、

(11)と、(7)、(8)を見くらべると、

となっている。これがオイラーの公式。やテイラー展開などを複素数領域に拡張してよいのか?というのは証明が必要だけど、 原岡, オイラーの公式がわかる. とか、 オイラーの公式 - Wikipediaあたりを参照。やってよい。

オイラーの公式が表現しているもの

は、複素平面上の単位円(長さが1)で、実数部が、虚数部がとなっている。この単位円は電気とか信号処理とかで、よく登場する割と重要な概念。

Refs.