20240303235947 オイラーの公式
eとは
説明が色々あって、数学的に厳密にしようとするとややこしいが、「微分すると自分自身になる指数関数の底」という定義を理解しておけばよさそう。
がわかっている必要がある。
参考文献はこのあたり。
- 原岡, オイラーの公式がわかる.
- ネイピア数eの導入と収束性 | すうがくブログ【式変形ch/教採数学ch】
- ネイピア数 | 定義と収束することの証明について【あの公理と同値なことが決め手】 | 岩井の数学ブログ
eのテイラー展開
eは微分しても変わらない。あとなので、テイラー展開 すると(マクローリン展開だけど)、各係数は
となる。具体的にはこうなっている。
sin、cosのテイラー展開
、。ここも高校でやったので省略。 微分を繰りかえすと、は
と、4回微分すると元に戻る。同じようにも
と4回で元に戻る。
(4)にを代入すると、
テイラー展開すると、
と、が奇数次の係数のみが残る。の場合、
と、が偶数次の係数のみが残る。
eをsinとcosで表現:オイラーの公式
のテイラー展開が(3)で与えられているとすると、にを代入して、
ここでは虚数単位。 を利用してをできるだけ消すと、
がついている項とそうでない項を整理すると、
(11)と、(7)、(8)を見くらべると、
となっている。これがオイラーの公式。やテイラー展開などを複素数領域に拡張してよいのか?というのは証明が必要だけど、 原岡, オイラーの公式がわかる. とか、 オイラーの公式 - Wikipediaあたりを参照。やってよい。
オイラーの公式が表現しているもの
は、複素平面上の単位円(長さが1)で、実数部が、虚数部がとなっている。この単位円は電気とか信号処理とかで、よく登場する割と重要な概念。