20240221150711 極、零点とフィルタの特性

周波数特性と極、零点一般的な話

一般にフィルタ(というか古典制御の伝達関数)は、極と零点をつかって、以下のように書ける。

H (s) = \frac{b _{m s^{m} +} b _{m - 1} s ^{m - 1} + \dots + b _{0}}{a _{n} s ^{n} + a _{n - 1} s ^{n - 1} + \dots a _{0}} = k \frac{( s - z _{1} ) ( s - z _{2) \dots} ( s - z _{m} )}{( s - p _{1} ) ( s - p _{2} ) \dots ( s - p _{n} )} (1)

このとき、任意の複素平面上の点 $q$ における振幅、位相特性は

∣ H (s) ∣_{s = q} = k \frac{( q - z _{1} ) ( q - z _{2)} \dots ( q - z _{m} )}{( q - p _{1} ) ( q - p _{2} ) \dots ( q - p _{n} )} = k \frac{r _{1} e ^{j ϕ_{1}} \cdot r _{2} e ^{j ϕ_{2}} \dots r _{m} e ^{j ϕ_{m}}}{d _{1} e ^{j θ_{1}} \cdot d _{2} e ^{j θ_{2}} \dots d _{n} e ^{j θ_{n}}} (2)

(2) の2番目は極座標表記。このとき、ゲイン $∣ H (s) ∣$ は

∣ H (s) ∣_{s = q} = k \frac{r _{1} r _{2} \dots r _{m}}{d _{1} d _{2} \dots d _{n}} = \frac{\prod _{t = 1}^{m} r _{t}}{\prod _{t = 1}^{n} d _{t}} (3)

位相 $ar g H (s)$ は

ar g H (s)_{s = q} = k \frac{ϕ _{1} + ϕ _{2} + \dots + ϕ _{m}}{θ _{1} + θ _{2} + \dots θ _{n}} = \frac{t = 1 \sum m ϕ _{t}}{t = 1 \sum n θ _{t}} (4)

と表せる。

周波数特性を気にしたい場合、点 $q$ として、周波数 $jω$ が0から $+ \infty$ まで移動した時の振幅と位相を求めれば良い。つまり、虚軸を原点から上方向に進んでいく直線上で上記を求めれば良い。