20240308121258 テイラー展開
とは何
これはマクローリン展開(x=0 の場合)のような気がするが、参考文献 原岡, オイラーの公式がわかる. では「テイラー展開」と書いてあった。
関数が、以下のように、べき級数で表せるとする。
このとき、 を求めたい。 は、 に、 を代入して
と求めることができる。 を求めるには、 を微分した、
に、 を代入して、
で求めることができる。同様に、 が求めたかったら、 を微分して、
として、
で求めることができる。 この作業を繰りかえしていくことで、順次 を求めることができる。微分するたびに、 べき乗の次数が係数に乗算されていくので、その分で割る必要がある。一般化するとこうなる。
(1) に(6)を代入すると、
条件など
関数が無限に微分できること(級)であること、定義域が実数全体ではない場合があること、など色々あるが、今のところ自分が興味あるのが などで、それらでは実数全体でテイラー展開可能なので、あまり気にしないことにする。