20240308121258 テイラー展開

techmath

とは何

これはマクローリン展開(x=0 の場合)のような気がするが、参考文献 原岡, オイラーの公式がわかる. では「テイラー展開」と書いてあった。

関数が、以下のように、べき級数で表せるとする。

このとき、 を求めたい。 は、 に、 を代入して

と求めることができる。 を求めるには、 を微分した、

に、 を代入して、

で求めることができる。同様に、 が求めたかったら、 を微分して、

として、

で求めることができる。 この作業を繰りかえしていくことで、順次 を求めることができる。微分するたびに、 べき乗の次数が係数に乗算されていくので、その分で割る必要がある。一般化するとこうなる。

(1) に(6)を代入すると、

条件など

関数が無限に微分できること(級)であること、定義域が実数全体ではない場合があること、など色々あるが、今のところ自分が興味あるのが などで、それらでは実数全体でテイラー展開可能なので、あまり気にしないことにする。

Ref.