20240218132513 状態空間モデルの導出

techcontrol_theory Modern_control_theory

出典: 南裕樹. Pythonによる 制御工学入門(改訂2版). オーム社, 2024年. pp.67-68

制御系のシステムは一般的に微分方程式で表される。 時刻$t$ 、 入力$u(t)$ 、 出力 $y(t)$ とすると、

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}\frac{d^n}{d{t}^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{d}{dt}+a_{0y(t)}\\ =b_m\frac{d^m}{d{t}^m}u(t)+b_{m-1}\frac{d^{m-1}}{d{t}^{m-1}}u(t)+\cdots +b_1\frac{d}{dt}u(t)+b_{0u(t)}\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

となる。 制御の範囲では、一般に $n\ge m$

ここで、$p=\frac{d}{dt}$ とおいて、

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}A(p)& =p^n+a_{n-1}{p}^{n-1}+\cdots +a_{1}p+a_0\\ B(p)& =p^m+b_{m-1}{p}^{m-1}+\cdots +b_{1}p+a_0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

とおくと、 (1) は

$$A(p)y=B(p)u\text{\hspace{1em}(3)}$$

と書ける ((t) は省略)。

(3) を変形すると

$$\frac{y}{B(p)}=\frac{u}{A(p)}\text{\hspace{1em}(4)}$$

、これを $v$ とおく。 両辺を$A(p)$倍すると、

$$\begin{array}{rl}& A(p)\cdot \frac{y}{B(p)}=u\\ & \iff A(p)v=u\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

両辺を$B(p)$倍すると、

$$\begin{array}{rl}& y=B(p)\frac{u}{A(p)}\\ & \iff y=B(p)v\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

ここで、n次元ベクトル

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{c}v\\ pv\\ ⋮\\ p^{n-1}v\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$

を定義すると、

$$\dot{\mathbf{x}}=p\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}pv\\ p^{2}v\\ ⋮\\ p^{n}v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ x_3\\ ⋮\\ -a_0{x}_1-a_1{x}_2\cdots +u\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$

と書くことができる。 (8) の最後、 $-a_0{x}_1-a_1{x}_2\cdots +u$ はどこから来たか？というと、

(5)より、

$$\begin{array}{rl}& A(p)v=u,\\ & \iff p^{n}v+a_{n_1{p}^{n-1}}+\cdots +a_{1p}+a_0=u\\ & \iff p^{n}v=-a_{n_1{p}^{n-1}}-\cdots -a_{1p}+a_0+u\end{array}$$

また、 (6)より、

$$y=(b_n{p}^m+b_{m_1{p}^{m-1}}+\cdots +b_{1}p+b_0)v$$

展開して順番を変えると

$$\begin{array}{rl}& \iff b_{0}v+b_{1}pv+\dots b_{m-1}{p}^{m-1}+b_m{p}^{m}v\end{array}$$

$v,pv,\dots ,p^{m-1}v,b_m{p}^{m}v$ の各係数は $\mathbf{x}$ と同じなので、

$$\begin{array}{rl}& \iff b_0{x}_1+b_1{x}_2+\cdots +b_m{x}_{m+1}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

と表わすことができる。

(8)、(9)を行列で表すと、

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{x}}& =\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\\ y& =\mathbf{C}\mathbf{x}\end{array}\end{array}$$

ここで、$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ はそれぞれ、

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lcc}& 010\dots & 0\\ & 001\dots & 0\\ & ⋮& \\ & \dots & 1\\ & -a_0-a_1\dots & -a_{n-1}\end{array}\right]$$ $$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$$ $$\mathbf{C}=\left[b_0{b}_1\dots b_{m}0\dots 0\right]$$