20240217161518 部分分数展開

math control_theory ラプラス逆変換したい時などに、既知のラプラス逆変換の和になるように展開する時などに使う方法。

2次式の場合の例

\frac{b}{s ( s + a )}

を部分分数展開したい。

分子展開法

これができるなら、一番簡単。

分子を分母の足し算/引き算で表す

\frac{b}{s ( s + a )} = \frac{s - ( s + a )}{s ( s + a )} \cdot \frac{b}{a}

右辺を計算して求める。

\frac{s - ( s + a )}{s ( s + a )} \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a} \cdot (\frac{s}{s ( s + a )} - \frac{s + a}{s ( s + a )}) = \frac{b}{a} \cdot (\frac{1}{s + a} - \frac{1}{s})

分子の項が3つ以上、分母の因数が3つ以上になるとツラい

\frac{b}{s ( s + a )} = \frac{k _{1}}{s} + \frac{k _{2}}{s + a}

とおく。というか、このような形式にもっていきたい。

右辺を通分、sでまとめる。

= \frac{k _{1} ( s + a ) + k _{2}}{s ( s + a )} = \frac{( k _{1} + k _{2} ) s + k _{2} a}{s ( s + a )}

最初の式と比較して、

k_{1} + k_{2} = 0, k_{1} a = b

これを解いて、

k_{1} = b / a, k_{2} = - b / a

∴ \frac{b}{s ( s + a )} = \frac{b}{a} (\frac{1}{s} - \frac{1}{s + a})

\frac{b}{s ( s + a )} = \frac{k _{1}}{s} + \frac{k _{2}}{s + a}

とおく。というか、このような形式にもっていきたい。というところは部分分数展開と同じ。上記の式は恒等式であるということを利用。両辺に $s + a$ をかける。

\frac{b}{s} = k_{1} (s + a) + k_{2}

この式は恒等式なので、 s = -a を代入して、右辺の1項を消去

\frac{b}{- a} = k_{2}

同様に、両辺に sをかけて

\frac{b}{s + a} = k_{1} + \frac{k _{2} s}{s + a}

s=0を代入すると、右辺の2項目が消去されて

\frac{b}{a} = k_{1}

と求めることができる。分子の次数が増えるとツラくなる。